今天发现一道有趣的习题:  设{r(t); e1(t), e2(t), e3(t)}是沿曲线r(t)定义的一个单位正交标架场, 假定1≤i≤3

\[
e’_{i}(t)=\sum_{j=1}^{3}a_{ij}(t)e_{j}(t)
\]

证明:

\[
a_{ij}(t)+a_{ji}(t)=0
\]

证: 其实就是证明一个重要的结论:  空间曲线的任意一个正交标架场的导数公式的系数矩阵都是反对称阵, 显然是Frenet标架的推广. 想了一下， 原来就是利用一下正交关系就ok…   如下作点积

\[
e_{i}(t) \cdot e’_{i}(t) = e_{i}(t) \cdot \sum_{j=1}^{3}a_{ij}(t)e_{j}(t)=a_{ii}
\]

左边显然等于0, 这是因为单位向量在单位球面上, 其切向量在球面切空间上, 必然垂直于该向量, 另外当i≠k时:

\begin{align}
e_{k}(t) \cdot e’_{i}(t) &= e_{k}(t) \cdot \sum_{j=1}^{3}a_{ij}(t)e_{j}(t)=a_{ik} \\
e_{i}(t) \cdot e’_{k}(t) &= e_{i}(t) \cdot \sum_{j=1}^{3}a_{kj}(t)e_{j}(t)=a_{ki}
\end{align}

将上面两式相加得到最终结论:

\[ a_{ik}+a_{ki} = e_{k} \cdot e’_{i}(t) + e_{i} \cdot e’_{k}(t) = (e_{i} \cdot e_{k})’=0 \]

附:  这个漂亮的反对称阵为: (以下约定都使用行向量)

\[
A=\begin{bmatrix}
0 & a_{12} & a_{13}\\
-a_{12} & 0 & a_{23}\\
-a_{13} & -a_{23} & 0
\end{bmatrix}
\]

当标架场刚好为Frenet标架场时， 结论就变成了Frenet公式， 可见Frenet公式只不过是其特殊形式, 矩阵由曲线的曲率和挠率组成:

\[
A=\begin{bmatrix}
0 & \kappa & 0\\
-\kappa & 0 & \tau\\
0 & -\tau & 0
\end{bmatrix}
\]

当这条曲线在某个曲面上时,并且让e3为曲面的法向量, e2 = e3 X e1, 那么这个矩阵其实就是由法曲率、测地曲率和测地挠率组成的!

\[
A=\begin{bmatrix}
0 & \kappa_{g} & \kappa_{n}\\
-\kappa_{g} & 0 & \tau_{g}\\
-\kappa_{n} & -\tau_{g} & 0
\end{bmatrix}
\]